Puzzle du nid d’abeille
I-Présentation
Objectif
Lors de la construction des ruches, les abeilles commencent par paver un plan avec des hexagones. C’est ce qui permet d’utiliser le moins de cire possible pour occuper une même surface, comme l’affirme le théorème suivant:
Théorème « du nid d’abeille » : De toutes les formes de même surface avec lesquelles on peut paver le plan, l’hexagone possède le plus petit périmètre.
Nous ne démontrons pas ce théorème général, mais ici, avec cet objet, on peut montrer que l’hexagone régulier a un périmètre plus petit qu’un triangle équilatéral (resp. un carré) de même surface en utilisant des pavages : on reconstitue l’hexagone et le triangle (ou le carré) avec les mêmes formes pour garantir qu’ils ont la même surface. Voir figure ci-dessous. On vérifie ensuite que l’hexagone a le plus petit périmètre en faisant le tour de chaque figure avec la corde.
Histoire
Le théorème pour des pièces ayant des formes de polygonales quelconques a été démontré par le
mathématicien hongrois F. Toth en 1943, et sa version générale pour des pièces avec des formes
aux côtés courbes par T. C. Hales en 1999.
Liens
Du théorème du nid d’abeille à la conjecture de Kelvin
Théorème du nid d’abeille
Pavage avec un seul type de piece
II-Construction
Plan de l’objet
Matériaux
- -colle à plexi
- -colle en bois
- -1 planche en bois 120x70cm d’épaisseur 5mm
- -13 clous
- -1 bobine de corde en coton
- -1 panneau de plexi rouge 40x40cm,épaisseur 5mm
- -1 panneau de plexi bleu 30x30cm,épaisseur 5mm
- -1 panneau de plexi transparent 5x10cm,épaisseur 8mm
- Outil: 1 scie circulaire ou sauteuse , imprimante laser (on en trouve à disposition dans les fablab), 1 marteau , 1 ciseau.
Nous avons trouvé tout le matériel dans un de ces magasins de bricolage usuels.
Voici les plans que nous avons utilisé :
| puzzle bleu pour le carré | puzzle rouge pour le triangle | contour puzzle nid d’abeille |
Montage
- Créer un fichier avec un logiciel vectoriel afin de dessiner les pièces (du triangle rouge et du carré bleu) et pouvoir les imprimer (pour aider à dessiner http://mathafou.free.fr/pbg/sol110b.html )
- Créer un fichier avec le logiciel pour dessiner 11 carrés 8x8mm qui nous serviront de poignées pour chaque pièce du puzzle
- Couper la planche en bois 120x35cm avec la scie et garder la chute pour imprimer les contours de chaque figure avec l’imprimante laser.
- Imprimer avec l’imprimante laser :
- sur le plexi rouge , les pièces du triange
- sur le plexi bleu , les pièces du carré
- sur le plexi transparent , les poignées
- sur la chute de bois , les contours
- Coller sur la planche en bois les contours en bois avec la colle à bois afin que chaque extrémité du haut de chaque figure soit à la même hauteur
- Coller les poignées au milieu de chaque pièce du puzzle avec la colle à plexi
- Planter les clous à chaque angle des figures
- Couper 3 morceaux de corde (82cm pour le carré , 77cm pour l’hexagone, 93cm le triangle)
- Accrocher la corde correspondante à chaque figure sur un clou qui se trouve en haut de chacune d’elle.
Ces quelques indications ne vous suivent pas ? Aucun souci : contactez-nous ! Nous serons enchanté·e·s de vous aider à réaliser ces objets.
Dernière modification : avril 2019.
